Egli segnò il suo primo gol col Milan il 9 gennaio 2016 contro la Roma. Quel match, che si giocò allo Stadio Olimpico, finì 1-1. In occasione della stagione 2016/2017, Kucka passò dal numero 27 al 33. Il 23 dicembre 2016 vinse, coi rossoneri, la Supercoppa Italiana a Doha ai danni della Juventus. Nell'estate del 2017, il centrocampista venne ceduto al Trabzonspor per 6 milioni di euro.
Dal 2022, lo slovacco gioca per lo Slovan Bratislava e, in occasione dei sorteggi di quest'edizione della Champions, la squadra slovacca postò un reel su Instagram in cui si vede la reazione di Kucka quando ha scoperto che affronterà la sua ex squadra.
Juraj Kucka, statistiche col Milan
—67 presenze
5 gol
6 assist
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